電氣新手必知:正弦量的相量表示(專業電氣學姐帶你學三十)

2020-04-30 15:16 更新 肖菲 瀏覽:92人次 微信二維碼

回顧上一次的學習,如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦規律變化,由此產生的電流、電壓大小和方向也是正弦的,且一個周期內其平均值為零,這樣的電路稱為正弦交流電路。而這些按正弦規律變化的電壓或電流,統稱為正弦量。而我們在學習正弦量的時候,基本都是采用瞬時表達式和波形圖的方式進行分析。


想象一下,如果兩個正弦量相加減,我們是通過它們的波形圖進行相加減,把兩個正弦量的波形沿時間軸分為無數個點,一點一點的相加減,這個過程可想而知是多么的繁瑣,另外,如果是把它們的瞬時表達式相加減,這就要通過三角函數的轉換,也不算方便,而相量,就為正弦量的運算帶來了極大的便利。


相量法是分析正弦交流電路的一種簡單易行的方法。它是結合數學理論與電路理論而建立起來的一種系統方法。正弦量的相量表示法是指:一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉矢量在縱軸上的投影值來表示。矢量,簡單來說就是既有大小又有方向的量。


圖30-1


如上圖30-1所示,設正弦量u=Umsin(ωt Ψ),其波形圖如圖右所示,以該正弦量的幅值Um作為旋轉矢量的長度(即虛圓的半徑),初相角Ψ作為旋轉矢量與橫軸的夾角并以此作為起點,使旋轉矢量以角速度ω按逆時針方向在直角坐標軸上旋轉,對于某一時刻ωt1,該旋轉有向線段在縱軸上的投影(虛線與y軸的交點)顯然就是對應時刻正弦量的瞬時值,這就是正弦量的相量表示。


另外,回顧上次我們所學的周期與角速度的關系ωT=2π,以圖30-1為例,想象一下,當旋轉矢量旋轉一周期()后,我們可以很快發現,它又回到了初始的位置,對應波形圖,此時的正弦量的值恰好也是等于其初始時的值,不同的只不過是時間罷了。


如下圖30-2所示,正弦量u、i等的相量書寫方式是在對應電量的大寫字母U(或Um)、I(或Im)上加“·”(點)符號表示,若正弦量的幅度用最大值表示,則對應電量的大寫字母應加下角標“m”。在實際應用中,正弦量的幅度一般都是采用有效值表示,即沒有下角標“m”。相量中的“·”(點)號即是表示與正弦量相關的復數身份,以區別于一般的復數,同時也表示區別于正弦量的幅值或有效值。相量符號本身就包含幅度和相位信息。


圖30-2

正弦量的相量表示,實質上就是用復數表示正弦量,即正弦量的對應相量是一個復數。所以,復數及其運算是應用相量法的數學基礎,我們要懂得相量,就必須要懂得復數。所謂復數,實質上是由實數和虛數組成的一對數,實數包括有理數和無理數。


一個復數有多種表示形式。復數F的代數形式為F =a jb,其中j為虛數單位。虛數理解起來可能比較困難,但這并不影響我們學習復數,在此我也不對虛數展開講解。


另外,j還可以表示為旋轉90°因子±j,即±j=cos90°±sin90°。j作為旋轉90°因子在與有功和無功、電阻和電抗、容抗和感抗相關正弦交流電路的相量分析中帶來很大的便利。某相量乘以 j,就是將該相量逆時針旋轉90°,某相量乘以-j,就是將該相量順時針旋轉90°。

圖30-3

復數F的代數形式F =a jb中,a稱為復數F的實部,b稱為復數F的虛部。復數在復平面上是一個坐標點,常用原點至該點的向量表示,如圖30-3所示,其中r為復數的模(值),表示為|F |,θ為復數的輻角,即θ=argF ,θ可以用弧度或度表示。


在這里說明一下,向量和相量是不同的,相量是電子工程學中用以表示正弦量大小和相位的矢量;而向量是在數學中表示具有大小和方向的量,與之對應的沒有方向的數量叫標量。


上文提到,一個復數是有多種表示形式的,除了其代數形式,還有三角形式、指數形式和極坐標形式。


如下圖30-4所示,根據復數F在復平面上的表示,可以得到復數F的三角形式。結合復數F的代數形式,|F |θab之間的關系如圖30-4中所示。在一些書面上,復數F的實部還會表示為Re[F ],即a =Re[F ];虛部表示為Im[F ],即b =Im[F ]。


圖30-4

另外,復數F的指數形式和極坐標形式如下圖30-5所示。其中ejθ=cosθ sinθ是歐拉公式的表達式,這是屬于復變函數的知識,較為復雜,在此就不展開講解啦。我們只需知道結論即可。極坐標和直角坐標都是二位坐標系統,相對于直角坐標系,極坐標系只有一條坐標軸叫極軸,其原點叫極點,如圖30-5所示。


圖30-5

綜上,復數F的表示形式有F =a jb =|F |cosθ sinθ=|F |ejθ=|F |θ。這是在數學理論里的復數,而在電路理論中的復數表示的是正弦量的相量。


把數學領域的復數運用到電路領域,其實也很簡單,只不過是將復數F符號用正弦量中各電氣量對應的相量符號代替,如下圖30-6所示。

圖30-6


關于正弦量與相量,以下幾點需要大家注意:


(1)相量只是表示正弦量,而不是等于正弦量。這是因為正弦量是一個變量,它是瞬時變化的,而相量只是一個有方向和大小的量,它代表的是正弦量在某一時刻的值。


2)只有正弦量才能用相量表示,非正弦量不能用相量表示。這是因為相量本身就是為分析正弦交流電路而存在的。


3)只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。


在上一次的學習中提到過,同頻的正弦量之間的代數和,其結果仍為同頻率的正弦量。也就是因為角頻率的不變,所以在討論研究同頻率的正弦量時,可以不用考慮其角頻率,只需研究其幅值和初相角的變化。


同理,在相量圖上,因為各正弦量的頻率相同,我們只需比較它們對應相量的模與輻角即可。


相量圖其實就是把相量表示在復平面的圖形,類似于圖30-3中的復數F。如下圖30-7為兩個正弦量的相量圖表示。從相量圖中,我們可以很快的看出,正弦量u1u2的關系。



圖30-7

復平面的直角坐標系有四個象限,顯然相量在復平面上表示時可以在任一象限中,如下圖30-7所示,當相量的實部和虛部取值不同時,其相量圖會出現在不同的象限中。


a、b均大于零時,相量在第一象限;當a小于零,b大于零時,相量在第二象限;


a、b均小于零時,相量在第三象限;當a大于零,b小于零時,相量在第四象限。


另外,輻角Ψ取值范圍為180°≥Ψ≥0°時,相量在第一、二象限;輻角Ψ取值范圍為0°≥Ψ≥-180°時,相量在第三、四象限。


大家可以嘗試畫一下幾種不同情況的相量圖,以加深印象,這也方便大家在之后以相量圖分析電路時能熟練運用。

圖30-8

正弦量的運算可以采用相量的加減乘除來實現,其本質就是復數的加減乘除。所以,關于相量的復數運算規則,其實就是復數的運算規則。

如下圖30-9所示為相量的加減表示。相量的加減遵循平行四邊形法則,即兩個相量的相加,把其中一個相量沿另一個相量平移,使兩相量首尾相連,得到的平行四邊形的新相量(對角線)即為兩者之和;


兩個相量的相減如圖30-9中的(2)所示,以被減數作為平行四邊形的對角線,減數作為平行四邊形的一條邊,兩者首尾相連得到平行四邊形的另一條邊即為兩者之差。

圖30-9

相量的乘除如下圖30-9所示,兩個相量相乘,即把兩者的有效值相乘得到積的有效值,把兩者的初相角相加得到積的初相角;


兩個相量相除,即把兩者的有效值相除得到商的有效值,把兩者的初相角相減得到商的初相角。相量的積和商的相量圖大家可以自行嘗試畫一下,在這里我就不再作展示。




圖30-10


正弦量的相量表示和運算總的來說并不是難,大家只要把一些定義與規則熟記,并多做練習就已經差不多了。


這次的學習內容其實更多的是偏向于數學的知識,還有的就是畫相量圖,懂得畫相量圖這一項技能是非常有用的,特別是在三相電路里面,基本離不開相量圖的輔助分析。

至此,這次的學習也已經進入尾聲了!

(技成培訓原創,作者:楊思慧,未經授權不得轉載,違者必究!



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